Σημειώσεις Μαθηματικών – Κεφάλαιο Δεύτερο

Το δεύτερο μέρος των σημειώσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού ασχολείται αναλυτικά και εκτενώς με την έννοια του ορίου συνάρτησης. Ένα κεντρικό ζήτημα στην εν λόγω διδακτική ενότητα είναι ο τρόπος με τον οποίο μπορεί να «παντρέψει» κανείς τη διδασκαλία της ιδιαίτερα απαιτητικής έννοιας του ορίου με την έμφαση που δίνεται, εν μέρει δικαιολογημένα, στις τεχνικές υπολογισμού ορίων. Προς αυτόν τον σκοπό, το πρώτο ένα τρίτο (και λίγο παραπάνω) των σημειώσεων είναι αμιγώς αφιερωμένο στην ανάπτυξη των εννοιολογικών εργαλείων που είναι απαραίτητα για την εισαγωγή της έννοιας του ορίου ενώ το επόμενο ένα τρίτο είναι αφιερωμένο σε μία συζήτηση περί των διαφόρων τεχνικών που εφαρμόζουμε κατά τον υπολογισμό ορίων.

Σε ό,τι αφορά το πρώτο τρίτο, χρησιμοποιείται μία πληθώρα εννοιών που δεν εισάγονται στο σχολικό βιβλίο. Κατά πρώτον, γίνεται μια απόπειρα να δοθεί μια σαφής διαισθητική εικόνα της σύγκλισης ακολουθίας σε αριθμό, μέσω της έννοιας της μεταβλητής (δε γίνεται καμμία ρητή αναφορά στον \epsilon-ορισμό της σύγκλισης, αλλά περιγράφεται εκτενώς η ιδέα πίσω από αυτόν) έτσι ώστε να δοθεί νόημα στον συμβολισμό x\to x_0. Στη συνέχεια, εισάγεται η έννοια του σημείου συσσώρευσης ενός συνόλου (πάντα περιγραφικά και όχι με αυστηρούς αναλυτικούς ορισμούς) και γίνεται η διάκριση ανάμεσα σε σημεία συσσώρευσης που είναι πραγματικοί αριθμοί και σε σημεία συσσώρευσης που δεν είναι πραγματικοί αριθμοί (τα αγαπημένα μας «άπειρα»).

Σε αυτό το σημείο έρχεται η πρώτη ριζική διαφοροποίηση στην παρουσίαση της ύλης σε σχέση με το σχολικό βιβλίο: αντί να χωριστούν τα όρια σε τρεις κατηγορίες (πεπερασμένα όρια σε πραγματικό αριθμό, άπειρα όρια σε πραγματικό αριθμό και όρια στα άπειρα) χωρίζονται σε δύο κατηγορίες (πεπερασμένα όρια και μη πεπερασμένα όρια). Η ιδέα πίσω από αυτήν την αλλαγή είναι η εξής: η άλγεβρα των ορίων δεν μπορεί να εφαρμοστεί καλώς (απροσδιοριστίες της μορφής \infty-\infty, για παράδειγμα) όταν τα όρια με τα οποία έχουμε να κάνουμε είναι άπειρα, ανεξαρτήτως από το αν εμείς τα αναζητούμε σε κάποιον αριθμό ή σε κάποιο άπειρο. Έτσι, όταν έχουμε x\to\pm\infty ή x\to x_0\in\mathbb{R}, δεν έχουμε κάποια ουσιαστική εννοιολογική διαφορά – σαφώς και έχουμε τεχνικά ζητήματα τα οποία εξετάζονται στο μέρος που αφορά τις τεχνικές υπολογισμού ορίων – αφού και στις δύο περιπτώσεις μιλάμε για σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης. Όταν όμως το ίδιο το όριο απειρίζεται, έχουμε μία σημαντική εννοιολογική διαφοροποίηση καθώς οι συνήθεις πράξεις μεταξύ ορίων και αριθμών παύουν να έχουν νόημα ως έχουν, σε αρκετές περιπτώσεις.

Μετά την εισαγωγή της έννοια του σημείου συσσώρευσης έρχεται η υπενθύμιση της διαφοράς της ανεξάρτητης μεταβλητής (π.χ. x) και της εξαρτημένης μεταβλητής (f(x)) και εισάγεται η έννοια του ορίου σε δύο στάδια: όριο συνάρτησης που είναι πραγματικός αριθμός και όριο συνάρτησης που είναι άπειρο. Αν και δε δίνεται ο \varepsilon-\delta ορισμός του ορίου, δεδομένης της προηγούμενης συζήτησης, κρίθηκε σκόπιμο να δοθεί μία διαισθητική προσέγγιση του ορισμού του ορίου μέσα από την Αρχή της Μεταφοράς, δεδομένου ότι οι μαθητές έχουν, εμμέσως, εκτεθεί στην έννοια της ακολουθίας και της σύγκλισης ακολουθίας (και πάλι η αναφορά σε όλα αυτά γίνεται μέσω των μεταβλητών x και f(x)).

Τέλος, μετά από την εμφάνιση μέσα σε παραδείγματα διαφόρων απροσδιόριστων μορφών, γίνεται η σχετική συζήτηση για την αντιμετώπιση κάποιων εξ αυτών, στο κεφάλαιο που αφορά τις τεχνικές υπολογισμού ορίων. Να σημειωθεί εδώ ότι, όρια τα οποία στα πλαίσια της ύλης του λυκείου μπορούν να υπολογισθούν μόνο με χρήση του κανόνα de l’ Hospital δεν υπολογίζονται αλλά μένουν σαν ανοικτά προβλήματα που θα αξιοποιηθούν στο κεφάλαιο της παραγώγου για να καταδείξουν την αναγκαιότητα αυτού του κανόνα για την ανάλυση.

Οι σημειώσεις βρίσκονται εδώ καθώς και στη σελίδα του διδακτικού υλικού.

Η κεντρική εικόνα της ανάρτησης είναι ο πίνακας Τέσσερις Εποχές του Giuseppe Arcimboldo.

Καλό – συννεφιασμένο – απόγευμα!

3 comments

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s